Số phức(phần 2) Định nghĩa số phức (Definition of Complex Numbers)

Ở phần 1 chúng ta biết rằng các phép toán với số phức tương tự các phép toán với số thực. Nhưng tại sao lại có điều này ? Chúng ta sẽ xây dựng số phức một cách chặt chẽ, từ đó chúng ta sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

1.Nhắc lại các tính chất của tập số thực $\Bbb R$:

1.1.Các tính chất liên quan đến phép cộng:

a) Tính giao hoán (Commutative law):
$a + b = b + a$ với mọi $a, b \in \Bbb R$
b) Tính kết hợp (Associative law): $(a + b) + c = a + (b + c)$ với mọi $a, b, c \in \Bbb R$
c) Phần tử đơn vị (Additive identity): Tồn tại duy nhất một số thực kí hiệu là $0$ thỏa mãn tính chất: $a + 0 = 0 + a = a$ với mọi số $a \in \Bbb R$
d) Phần tử đối (Additive inverse): Với mọi số thực $a$ tồn tại duy nhất một số thực $x$ thỏa mãn: $a + x = x + a = 0$, số thực $x$ này được kí hiệu là $-a$.

1.2.Các tính chất liên quan đến phép nhân:

a) Tính giao hoán (Commutative law): $ab = ba$ với mọi $a, b \in \Bbb R$
b) Tính kết hợp (Associative law): $(ab)c = a(bc)$ với mọi $a, b, c \in \Bbb R$
c) Phần tử đơn vị (Additive identity): Tồn tại duy nhất một số thực kí hiệu là $1$ thỏa mãn tính chất: $a.1 = 1.a = a$ với mọi số $a \in \Bbb R$
d) Phần tử đối (Additive inverse): Với mọi số thực $a \neq 0$ tồn tại duy nhất một số thực $x$ thỏa mãn: $ax = xa = 1$, số thực $x$ này được kí hiệu là $a^{-1}$ hay $\frac{1}{a}$.
e) Tính chất phân phối (Distributive law): $a(b + c) = ab + ac$ với mọi $a, b, c \in \Bbb R$
Mọi tập hợp thỏa mãn các tính chất trên được gọi là một trường(field), vậy nên $\Bbb R$ là một trường. Tương tự $\Bbb Q$ cũng là một trường. Nhưng $\Bbb N$ và $\Bbb Z$ không phải là một trường.

2. Xây dựng số phức:

Một số phức là một cặp có thứ tự các số thực $(a, b)$ thỏa mãn các tính chất sau đây: Hai cặp $(a, b)$ và $(c, d)$ bằng nhau khi và chỉ khi $a = c$ và $b = d$. Tổng và tích của hai số phức $(a, b)$ và $(c, d)$ được định nghĩa như sau:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b).(c, d) = (ac - bd, bc + ad)$
Từ định nghĩa về hai số phức bằng nhau ta có các tính chất sau:
a) Tính phản xạ (Reflexive): $(a, b) = (b, a)$ với mọi số phức $(a, b)$
b) Tính đối xứng $(a, b) = (c, d)$ tương đương với $(c, d) = (a, b)$
c) Tính bắc cầu: $(a, b) = (c, d)$ và $(c, d) = (e, f)$ thì $(a, b) = (e, f)$
Với các phép cộng và phép nhân được định nghĩa như trên, dễ dàng chứng minh được $\Bbb C$ cũng là một trường. Bây giờ ta sẽ xét các số phức có dạng $(a, 0)$:
$(a, 0) \pm (b, 0) = (a \pm b, 0)$
$(a, 0).(b, 0) = (ab - 0.0, 0.b + a.0) = (ab, 0)$
$\frac{(a, 0)}{(b, 0)} = (a, 0).(b^{-1}, 0) = (ab^{-1} - 0.0, 0.b^{-1} + a.0)$ $= (ab^{-1}, 0) = (\frac{a}{b}, 0)$ với $(b \neq 0)$
Từ những tính chất trên ta có thể xem những số phức có dạng $(a, 0)$ như là số thực.
Tiếp theo ta sẽ xét số phức $(0, 1)$: Ta có $(0, 1)^2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1$. Vậy nếu chúng ta kí hiệu $(0, 1)$ là $i$ thì $i^2 = -1$ và một số phức bất kì đều có thể viết dưới dạng sau:
$(a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi$, $i$ được gọi là đơn vị ảo(imaginary unit).

3. Số phức liên hợp:

Số phức $(a, -b) = a - bi$ được gọi là số phức liên hợp (conjugate complex number) của số phức $z = (a, b) = a + bi$ và được kí hiệu là $\overline z$. Với hai số phức $z_1$ và $z_2$ ta có một vài tính chất sau đây:
$\overline{z_1} \pm \overline{z_2} = \overline{z_1 \pm z_2}$
$\overline{z_1}.\overline{z_2} = \overline{z_1.z_2}$
$\overline{\frac{z_1}{z_2}} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$, $(z_2 \neq 0)$
$z + \overline{z} = 2$.$\Re$e $z$
$z - \overline{z} = 2$i$\Im$m $z$
$z.\overline{z} = a^2 + b^2$

4.Mođun của số phức $z$:

Modun của số phức $z$ được kí hiệu là $|z|$. Sau đây là một vài tính chất của modun của số phức:
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z.\overline{z}}$
$|z| = 0$ khi và chỉ khi $z = 0$
$\Re e z \le |z|$
$\Im m z \le |z|$
$|z| = |\overline{z}|$
$|z_1.z_2| = |z_1||z_2|$
$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, z_2 \neq 0$
Với mọi số phức $z_1$ và $z_2$ thì $z_1.z_2 = 0$ khi và chỉ khi $z_1 = 0$ hoặc $z_2 = 0$