Số phức(phần 3) Một số định lí

Kì này chúng ta sẽ tìm hiểu một số định lí quan trọng

1.Phương trình bậc 2 trong trường số phức:

Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a, b, c \in \Bbb C, a \neq 0$, có hai nghiệm trong $\Bbb C$ được cho bởi công thức: $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2. Định lí cơ bản của đại số (Fundamental Theorem of Algebra):

Phương trình đa thức $a_0x^n + a_1x^{n - 1} + ... + a_{n - 1}x + a_n = 0$ với $a_k \in \Bbb C, (k = 0, 1, 2,..., n), a_0 \neq 0, n \geq 1$ luôn có nghiệm trong $\Bbb C$ hay nói cách khác $\Bbb C$ là một trường đóng đại số.
Hệ quả: Một phương trình đa thức bậc n có đúng n nghiệm trong trường $\Bbb C$.
Nếu z là 1 nghiệm của P(x) thì $\overline z$ cũng là 1 nghiệm của P(x).

3.Quan hệ thứ tự trong trường $\Bbb C$:

Chúng ta luôn có thể so sánh hai số thực bất kì, vậy chúng ta có thể so sánh hai số phức không? Để trả lời cho câu hỏi này chúng ta sẽ nói lại về quan hệ thứ tự trên trường $\Bbb R$.
1) Với mỗi số thực $a$ có một và chỉ một trong các quan hệ sau:
Hoặc $a > 0$ hoặc $a = 0$ hoặc $-a > 0$
$a > b$ khi và chỉ khi $a - b > 0$
2) $a > 0, b > 0 \Rightarrow a + b > 0$
3) $a > 0, b > 0 \Rightarrow ab > 0$
Ta thấy rằng $\Bbb C$ không thỏa mãn điều kiện 3, vì giả sử $\Bbb C$ thỏa mãn điều kiện 3, thì hoặc $i > 0$ hoặc $-i > 0$ (bởi vì $i \neq 0$). Nếu $i > 0$ thì $i.i = -1 > 0$ vô lí!. Nếu $-i > 0$ thì $(-i).(-i) = -1 > 0$ cũng vô lí!. Vậy điều kiện 3 không thỏa. Do đó không thể so sánh được hai số trong $\Bbb C$.