Số phức(phần 4) Bất đẳng thức tam giác

Với mọi số phức $z_1, z_2$ ta có bất đẳng thức sau:
$||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
Chứng minh: $|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2})$
$= z_1.\overline{z_1} + (z_1.\overline{z_2} + z_2.\overline{z_1}) + z_2.\overline{z_2}$
$= |z_1|^2 + 2\Re {z_1.\overline{z_2}} + |z_2|^2 \leq |z_1|^2 + 2|z_1.\overline{z_2}| + |z_2|^2$
$= |z_1|^2 + 2|z_1|.|\overline{z_2}| + |z_2|^2$
$= (|z_1| + |z_2|)^2 \Rightarrow |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên thay $z_1$ bởi $z_1 + z_2$ và $z_2$ bởi $-z_2$:
$|z_1 + z_2| + |-z_2| \geq |z_1 + z_2 - z_2| = |z_1| \Rightarrow |z_1| - |z_2| \leq |z_1 + z_2|$ (1)
Vì vai trò của $z_1$ và $z_2$ là như nhau nên $|z_2| - |z_1| \leq |z_1 + z_2|$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2|$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Re e (z_1.\overline{z_2}) = |z_1.\overline{z_2}|$ hay $z_1.\overline{z_2}$ là một số thực không âm($z_1.\overline{z_2} \geq 0$)